Mínimo múltiplo comum
O menor dos múltiplos comuns de dois ou
mais números, excluindo o zero, chama-se mínimo múltiplo comum (m.m.c.) desses
números.
O mínimo múltiplo comum entre dois ou
mais número pode ser obtido a partir dos
conjuntos de seus múltiplos.
Observe os
conjuntos de múltiplos dos números 4 e 6:
M (4) = {0, 4, 8,
12, 16, 20, 24, 28, 32 ,36}
M (6) = {0, 6, 12,
18, 24, 30, 36, 42, 48, 54}
Conjunto de
múltiplos comuns (4, 6) = {0, 12, 24, 36...}
O menor múltiplo
comum de 4 e 6, diferente de 0, é o 12.
m.m.c. (4,6) = 12
Pode-se também encontrar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números através de decomposição simultânea em fatores primos. Observe o exemplo:
Para obter o m.m.c. (3, 6, 15)
Ø Dividem- se os números dados pelos seus
fatores primos. Nesse exemplo, inicia-se pelo 2. Repetem-se os números que não
forem divisíveis por 2 .
3,
6, 15 l 2
3,
3, 15 l
l
Ø Agora dividem-se os
números pelo fator primo 3.
3,
6, 15 l 2
3,
6, 15 l 3
1,
1, 5
l
Ø O próximo fator primo é
o 5.
3,
6, 15 l 2
3,
3, 15 l 3
1,
1, 5 l 5
1,
1, 1 l
Ø Fazem-se as divisões
até que todos os quocientes sejam 1 (o que observa-se no exemplo dado).
Ø Multiplicam-se todos os
números primos utilizados e encontra-se no produto o m.m.c. dos números dados.
m.m.c. ( 3, 6, 15) = 2 X 3 X 5 = 30
m.m.c. (3, 6, 15) = 30
m.m.c. (3, 6, 15) = 30
Exercícios
01
– Encontre o m.m.c. através dos conjuntos de múltiplos dos números dados.
a)
m.m.c. (4, 9)
|
b)
m.m.c. (6, 10)
|
c)
m.m.c. (4, 8, 12)
|
d)
m.m.c. (7, 21)
|
02
– O 2 e 3 tem como mínimo múltiplo comum,
3 ou 6?
Resposta:
___________________________
|
03
– Encontre o mínimo múltiplo comum dos números dados, através da decomposição
simultânea em fatores primos.
a)
m.m.c. (2, 5)
|
b)
m.m.c. (6, 8)
|
c)
m.m.c. (3, 6, 12)
|
d)
m.m.c. (10, 15)
|
04
- Dois viajantes de uma empresa saem a serviço no mesmo dia. O primeiro faz
viagens de 12 em 12 dias e o segundo, de 18 em 18 dias. Depois de quantos dias
sairão juntos novamente?
Resposta:
____________________________
|
05 - Um ciclista dá uma volta em torno de um percurso em 12 minutos. Já outro
ciclista completa o mesmo percurso em 20 minutos. Se ambos saem juntos do ponto
inicial de quantos em quantos minutos se encontrarão no mesmo ponto de partida?
Resposta:
____________________________
|
Gabarito
01 -
a) m.m.c. (4, 9)
M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 ,36,
...}
M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72,
81, 90, ...}
m.m.c. (4,9) = 36
|
b) m.m.c. (6, 10)
M (6) = {0, 6, 12, 18, 2304, 30, 36, 42, 48,
54, ...}
M (10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80,
90, ...}
m.m.c. (6, 10) = 30
|
c) m.m.c. (4, 8, 12)
M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 ,36,
...}
M (8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,
72, ...}
M (12) = {0, 12, 24, , 48, 60, 72, 84, 96,
...}
m.m.c. (4,8,12) = 24
|
d) m.m.c. (7, 21)
M (7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,
63,...}
M (21) = {0, 21, 42, 63, 84, 105, ...}
m.m.c. (7, 21) = 21
|
02 –
m.m.c. (2, 3)
M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10 ...}
M (3) = {0, 3, 6, 9, 12,
...}
m.m.c. (2, 3) = 6
Através da decomposição simultânea
em fatores primos:
2, 3 |2
1, 3 |3
1, 1 |
m.m.c. (2, 3) = 2 X 3 = 6
Resposta: O mínimo múltiplo comum dos números 2 e 3 é o número
6.
|
03 –
a) m.m.c. (2, 5)
2, 5 |2
1, 5 |5
1, 1 |
m.m.c. (2, 5) = 2 x 5 = 10
|
b) m.m.c. (6, 8)
6, 8 |2
3, 4 |2
3, 2 |2
3, 1 |3
1, 1 |
m.m.c. (6, 8) = 2 x 2 x 2 x 3 = 24
|
c) m.m.c. (3, 6, 12)
3, 6, 12 |2
3, 3, 6 |2
3, 3, 3 |3
1, 1, 1 |
m.m.c. (3, 6, 12) = 2 x 2 x 3 = 12
|
d) m.m.c. (10, 15)
10, 15 |2
5, 15 |3
5, 5
|5
1, 1
|
m.m.c. (10, 15) = 2 x 3 x 5 = 30
|
04 -
12, 18 |2
6, 9 |2
3, 9 |3
1, 3 |3
1, 1 |
m.m.c. (12,
18) = 2 x 2 x 3 x 3 = 36
Resposta: Depois
de 36 dias os dois viajantes sairão juntos novamente
|
05 -
12, 20 |2
6, 10 |2
3, 5 |3
1, 5 |5
1, 1 |
m.m.c. (12,
20) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Resposta: Os dois ciclistas se
encontrarão no mesmo ponto de partida após 60 minutos.
|
