Divisores de um número
natural
Divisor de um número é
outro número pelo qual ele pode ser dividido exatamente, ou seja, sem deixar
resto.
Para determinar os divisores de um número pode-se utilizar o processo
das divisões sucessivas. Começa-se a
dividir o número natural dado por 1 até
ele próprio . Depois, verifica-se em quais das divisões o resto foi 0.
Observe as divisões,
que tem como dividendo o número 15:
15 | 1
- 1
15
05
- 5
0
|
15 | 2
-
14 7
01
|
15 | 3
-
15 5
00
|
15 | 4_
- 12 3
03
|
15 | 5_
-
15 3
00
|
15 | 6_
-
12 2
03
|
15 | 7
-
14 2
01
|
15 | 8_
-
08 1
07
|
15 | 9_
-
09 1
06
|
15 |
10_
-
10 1
05
|
15 | 11
-
11 1
04
|
15 | 1 2
-
12 1
03
|
15 | 13
-
13 1
02
|
15 | 14_
-
14 1
01
|
15 | 15_
-
15 1
00
|
Nota-se que o número 15
é divisível por 1, 3, 5 e 15, mas não é divisível por 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13 e 14.
Conclusão: 1 ,3 ,5 e 15 são divisores de 15.
O conjunto dos divisores de 15 é representado desta
maneira:
D
(15) = {1, 3, 5, 15}
Também
pode-se encontrar os divisores de um número natural, procurando
todas as multiplicações de dois fatores que resultem nesse número como
produto. Começa-se pelo 1 e vai-se efetuando os produtos, ate que um dos
fatores se repita.
Observe:
30 = 1 x 30
30 = 2 x 15
30 = 3 x 10
30 = 5 x 6
Os fatores começam a se repetir, portanto, é
hora de parar e escrever o conjunto:
D (30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
D (30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
A determinação do conjunto de divisores de um número natural também pode ser feita utilizando-se um
processo prático, que é a decomposição em fatores primos.
Acompanhe as etapas desse processo na determinação dos divisores do
número 42.
·
Decomponha o número 42 em fatores primos e faça
outro traço vertical à direita da decomposição:
42 |2|
21 |3|
7 |7|
1 | | <= o outro traço
·
Escreva o número 1 acima e à direita do novo traço:
|1
42 |2|
21 |3|
7 |7|
1 |
·
Multiplique o primeiro fator primo (no caso, o 2) por
1 e coloque o resultado embaixo do 1:
|1
42 |2|2
21 |3|
7 |7|
1 |
·
Multiplique o segundo fator primo (no caso, o 3)
por 1 e por 2, e coloque os resultados na linha do 3:
|1
42 |2|2
21 |3|3 - 6
7 |7|
1 |
·
Multiplique, por fim, o ultimo fator primo (no
caso, o 7) por todos os números encontrados (1, 2, 3 e 6) e coloque os
resultados na linha do fator 7, em ordem e sem repetir um mesmo número:
|1
42 |2|2
21 |3|3 - 6
7 |7|7 – 14 – 21 - 42
1 |
Portanto, os números
1, 2, 3 , 6, 7, 14, 21 e 42 são os divisores de 42:
D(42) = { 1, 2, 3,
6, 7, 14, 21, 42}
Outras
informações
·
O número 1 é divisor de todos os números naturais.
·
O número 1 é o menor divisor de qualquer número natural.
·
O maior divisor de um número natural, diferente de zero,
é o próprio número.
·
O conjunto dos divisores de
um número é um conjunto finito.
|
Exercícios
01 – Utilizando
o processo das divisões sucessivas, determine
o conjunto dos divisores dos números naturais dados:
a) 6
|
b) 9
|
02 – De acordo com o método das multiplicações de dois fatores que
resultam no número dado como produto, os
divisores do número 18 são:
18
= 1 x 18
18 = 2 x 9
18 = 3 x 6
18 = 2 x 9
18 = 3 x 6
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Segundo o exemplo dado,
encontre os divisores dos números:
a) 25
|
b) 20
|
c) 10
|
03 - Observe os conjuntos de divisores das
atividades anteriores e responda:
a) O número 1 é divisor de qualquer número
natural?
b) O conjunto dos divisores de um número é
finito ou infinito?
c) Qual é o menor divisor de um número natural?
d) Qual
é o maior divisor de um número natural?
Respostas:
a)
|
|
b)
|
|
c)
|
|
d)
|
04 – Dado
o número natural 36, escreva:
a) O conjunto de divisores do número 36:
|
b) Quais são os
divisores pares de 36?
|
05 – Determine pelo processo pratico (a decomposição em fatores primos) os
seguintes conjuntos de divisores:
a) D (12)
|
c) D (45)
|
b) D (40)
|
d) D (50)
|
Gabarito
01 -
a)
6
6 | 1_ 6
|
2_
- 6_ 6 - 6_ 3
0 0
6 | 3_ 6 |
4_
- 6_ 2 - 4_
1
0 2
6 | 5_ 6 |
6_
- 5_ 1 - 6_
1
1 0
D (6) = {1, 2, 3, 6}
|
b) 9
9 | 1_ 9 |
2_
- 9_ 9 - 8_
4
0 1
9 | 3_ 9 |
4_
- 9_ 3 - 8_ 2
0 1
9 | 5_ 9 |
6_
- 5_ 1 - 6_
1
4 3
9 | 7_ 9 |
8_
- 7_ 1 - 8_
1
2 1
9 | 9_
- 9_ 1
0
D (9) = {1, 3, 9}
|
02 –
a)
25
25 = 1 x 25
25 = 5 x 5
D (25) = {1, 5, 25}
|
b) 20
20 = 1 x 20
20 = 2 x 10
20 = 4 x 5
D (25) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
|
c) 10
10 = 1 x 10
10 = 2 x 5
D (10) {1, 2, 5, 10}
|
03 - Respostas:
a)
|
Sim
|
b)
|
Finito
|
c)
|
O número 1
|
d)
|
É o próprio número
|
04 –
a) Os divisores de 36:
36 = 1 x 36
36 = 2 x 18
36 = 3 x 12
36 = 4 x 9
36 = 6 x 6
D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,
36}
|
b) Resposta:
Os divisores pares de 36 são: 2, 4, 6, 12, 18 e 36.
|
05
– Determine pelo processo pratico os
seguintes conjuntos de divisores:
a) D (12)
|1
12 |2|2
6 |2|2 - 4
3 |3|3 – 6 - 12
1 |
D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12}
|
c) D (45)
|1
45 |5|5
9 |3|3 - 15
3 |3|3 – 9 – 45
1 |
D(45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45}
|
b) D (40)
|1
40 |2|2
20 |2|2 - 4
10 |2|2 – 4 – 8
5 |5| 5 – 10 – 20 - 40
1 |
D(40) = { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
|
d) D (50)
|1
50 |2|2
25 |5|5 - 10
5 |5|5 – 10 – 25 - 50
1 |
D(50) = { 1, 2, 5, 10, 25, 50}
|
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