Mínimo múltiplo comum

         O menor dos múltiplos comuns de dois ou mais números, excluindo o zero, chama-se mínimo múltiplo comum (m.m.c.) desses números.

         O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais número pode ser obtido a partir  dos conjuntos de seus múltiplos.

Observe os conjuntos de múltiplos  dos números 4 e 6:

M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 ,36}

M (6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54}

Conjunto de múltiplos comuns (4, 6) = {0, 12, 24, 36...}

O menor múltiplo comum de 4 e 6, diferente de 0, é o 12.

m.m.c. (4,6) = 12

Pode-se também encontrar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números através de decomposição simultânea em fatores primos. Observe o exemplo:

Para obter o m.m.c. (3, 6, 15)

Ø Dividem- se os números dados pelos seus fatores primos. Nesse exemplo, inicia-se pelo 2. Repetem-se os números que não forem divisíveis por 2 .

3, 6, 15 l 2

3, 3, 15 l

             l

Ø Agora dividem-se os números pelo fator primo 3.

3, 6, 15 l 2                            

3, 6, 15 l 3   

1, 1,  5  l 

 

Ø O próximo fator primo é o 5.

3, 6, 15 l 2

3, 3, 15 l 3

1, 1, 5   l 5

1, 1, 1   l

Ø Fazem-se as divisões até que todos os  quocientes sejam 1 (o que observa-se no exemplo  dado).

Ø Multiplicam-se todos os números primos utilizados e encontra-se no produto o m.m.c. dos números dados.

m.m.c. ( 3, 6, 15) = 2 X 3 X 5 = 30

m.m.c. (3, 6, 15) = 30

Exercícios

01 – Encontre o m.m.c. através dos conjuntos de múltiplos dos números dados.

a) m.m.c. (4, 9)	b) m.m.c. (6, 10)
c) m.m.c. (4, 8, 12)	d) m.m.c. (7, 21)

02 – O 2 e 3 tem como  mínimo múltiplo comum,  3 ou 6?

Resposta: ___________________________

03 – Encontre o mínimo múltiplo comum dos números dados, através da decomposição simultânea em fatores primos.

a) m.m.c. (2, 5)	b) m.m.c. (6, 8)
c) m.m.c. (3, 6, 12)	d) m.m.c. (10, 15)

04 - Dois viajantes de uma empresa saem a serviço no mesmo dia. O primeiro faz viagens de 12 em 12 dias e o segundo, de 18 em 18 dias. Depois de quantos dias sairão juntos novamente?

Resposta: ____________________________

05 - Um ciclista dá uma volta em torno de um percurso em 12 minutos. Já outro ciclista completa o mesmo percurso em 20 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos minutos se encontrarão no mesmo ponto de partida?

Resposta: ____________________________

Gabarito

01 -

a) m.m.c. (4, 9) M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 ,36, ...} M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ...} m.m.c. (4,9) = 36	b) m.m.c. (6, 10) M (6) = {0, 6, 12, 18, 2304, 30, 36, 42, 48, 54, ...} M (10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, ...} m.m.c. (6, 10) = 30
c) m.m.c. (4, 8, 12) M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 ,36, ...} M (8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...} M (12) = {0, 12, 24, , 48, 60, 72, 84, 96, ...} m.m.c. (4,8,12) = 24	d) m.m.c. (7, 21) M (7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63,...} M (21) = {0, 21, 42, 63, 84, 105, ...} m.m.c. (7, 21) = 21

02 –

m.m.c. (2, 3) M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10 ...} M (3) = {0, 3, 6,  9, 12,  ...} m.m.c. (2, 3) = 6 Através da decomposição simultânea em fatores primos: 2, 3 |2 1, 3 |3 1, 1 | m.m.c. (2, 3) = 2 X 3 = 6 Resposta: O mínimo  múltiplo comum dos números 2 e 3 é o número 6.

03 –

a) m.m.c. (2, 5) 2, 5 |2 1, 5 |5 1, 1 | m.m.c. (2, 5) = 2 x 5 = 10	b) m.m.c. (6, 8) 6, 8 |2 3, 4 |2 3, 2 |2 3, 1 |3 1, 1 | m.m.c. (6, 8) = 2 x 2 x 2 x 3 = 24
c) m.m.c. (3, 6, 12) 3, 6, 12 |2 3, 3,   6 |2 3, 3,   3 |3 1, 1,   1 | m.m.c. (3, 6, 12) = 2 x 2 x 3 = 12	d) m.m.c. (10, 15) 10, 15  |2    5, 15 |3     5,  5 |5     1,  1 | m.m.c. (10, 15) = 2 x 3 x 5 = 30

04 -

12,  18 |2   6,    9 |2   3,    9 |3   1,    3 |3 1,   1 | m.m.c. (12, 18) = 2 x 2 x 3 x 3 = 36 Resposta: Depois de 36 dias os dois viajantes sairão juntos novamente

 05 -

12,  20 |2   6,  10 |2   3,    5 |3   1,    5 |5 1,   1 | m.m.c. (12, 20) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Resposta: Os dois ciclistas  se encontrarão no mesmo ponto de partida após 60 minutos.