MÁXIMO DIVISOR COMUM
O
maior divisor comum de dois ou mais números naturais é chamado de máximo
divisor comum desses números.
Usa-se
a abreviação m.d.c.
O máximo
divisor comum entre dois ou mais números é obtido a partir dos conjuntos de
seus divisores.
Uma forma
de determinar o m.d.c. dos números naturais é o método das divisões sucessivas
(algoritmo de Euclides).
Exemplo: o m.d.c. (24,18):
1
- Dividir 24 por 18.
24 |18_
-
18 1
06
O quociente é 1 e o resto é 6.
2 - O resto 6 passa a ser o divisor do 18
(antigo divisor).
18
| 6_
-
18 3
00
3 - Ao dividir 18 por 6, obtêm-se quociente 3 e
resto zero.
4 - Quando se chega ao resto zero, o processo
termina.
O último resto anterior a zero, no caso o 6, é
o mdc de 24 e 18. É escrito assim:
m.d.c. (24, 18) = 6.
Outra forma
de determinar o m.d.c. dos números naturais é o método das multiplicações de
dois fatores que resultem no número em questão como produto. Começa-se pelo 1 e
vai-se efetuando os produtos, até que um
dos fatores se repita.
Exemplo:
12 = 1 x 12
18 = 1 x
18
12 = 2 x 6 18 = 2 x 9
12 = 3 x 4 18 = 3 x 6
Observa-se que:
Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e
12.
Os divisores de 18 são: 1, 2, 3, 6, 9 e
18.
Os divisores comuns de 12 e 18 são: 1, 2,
3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior.
Logo o m.d.c.(12,18) = 6.
|
Também calcula-se o máximo divisor comum de dois ou
mais números naturais através da decomposição em fatores primos.
Os passos
são:
=> Escolher os
fatores primos comuns e os fatores comuns elevados ao menor expoente.
=> Escrever os fatores primos em comum que possuem o menor expoente. O produto
desses fatores é o m.d.c. dos números dados.
Exemplos:
a) Decompondo os números 12 e 18
em seus fatores primos:
12 |2
18 |2
6
|2
9 |3
3
|3
3 |3
1
|
1 |
12 = 2² x 3 18 = 2 x 3²
Observa-se que os fatores primos em comum que possuem o menor expoente são 2 e 3.
Logo, o m.d.c. (12, 18) = 2 x 3 = 6
|
Fazendo
uso de um outro método prático:
1
1
12 |2|
2 18
|2|2
6
|2| 2 - 4
9 |3|3 – 6
3
|3| 3 – 6 - 6 - 12 3 |3|3 –
6 – 9 - 18
1
| 1 |
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D (18) = 1, 2, 3, 6, 9,
18)
Observação: Ao escrever os conjuntos de
divisores dos números dados, elimina-se as repetições dos números (no lado
dos produtos).
Divisores comuns (12, 18) = 1, 2, 3, 6)
m.d.c. (12, 18) = 6
|
Uma outra maneira de
calcular o máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é através da decomposição simultânea ou fatoração simultânea, que consiste
em:
=> Primeiro escrever os números lado a lado,
separados por
vírgula.
=> Colocar uma reta vertical separando os
números que serão divididos e os divisores.
=> Dividir todos os números dados por um menor fator primo divisor de todos.
=> Se um número não for divisível pelo menor fator primo, ele deve ser repetido.
=> Dividir os
quocientes que surgirem pelo menor fator primo apropriado, até chegar ao
quociente 1..
=> Destacar os fatores primos ( divisores) que dividiram
todos os números ao mesmo tempo.
=> Escrever o produto obtido com os divisores destacados.
Esse produto é o m.d.c. procurado.
Exemplos:
a) Calculando o m.d.c. dos números 20 e 50:
20, 50 |2
10, 25 |2
5, 25
|5
1, 5 |5
1, 1 |
Os menores fatores primos que dividiram
todos os números ao mesmo tempo foram: 2
e 5. Portanto, o produto desses dois números é
o m.d.c. procurado.
Logo, o m.d.c. (20, 50) = 2 x 5 = 10
|
b) Calculando o m.d.c. dos números 16, 24 e 32:
16, 24, 32 |2
8,
12, 16 |2
4, 6, 8 |2
2,
3, 4 |2
1, 3, 2 |2
1, 3, 1 |3
1,
1, 1|
Os menores fatores primos que dividiram todos os números ao mesmo tempo foram: 2, 2 e 2. Portanto o
produto desses três números é o m.d.c. procurado.
Logo, o m.d.c. (16, 24, 32) = 2 x 2 x 2 = 8
|
Exercícios
01 – Determine, através do método das divisões
sucessivas, o máximo divisor comum dos números abaixo.
a) 8 e 6
|
b) 15 e 9
|
c) 16 e 6
|
d) 21 e 14
|
02 – Utilizando o método das
multiplicações de dois fatores que resultem no número em questão como produto,
encontre o m.d.c. dos números 16 e 14.
03 - Através da
decomposição em fatores primos, determine:
a) m.d.c. (25, 10)
|
c) m.d.c. (16, 14)
|
b) m.d.c. (32, 8)
|
d) m.d.c. (12, 15)
|
04 - Utilize
qualquer método e calcule o m.d.c. dos números dados abaixo.
a)
m.d.c. (35, 40)
|
d)
m.d.c. (40, 30)
|
b)
m.d.c. (20, 30, 25)
|
e)
m.d.c.
(25, 60)
|
c)
m.d.c.
(12, 60)
|
f)
m.d.c.
(12, 30, 60)
|
05 - O professor de história
precisa dividir uma turma de alunos em grupos, de modo que cada grupo tenha a
mesma quantidade de alunos. Nessa turma temos 24 alunas e 16 alunos. Quantos componentes
terá cada grupo?
Resposta: ___________________________________
|
Gabarito
01 –
a) 6 e 8
8
|6_ 6
| 2
-
6 1 - 6 3
02 0
O último resto anterior a zero, no
caso o 2, é o mdc de 8 e 6.
m.d.c. (8, 6) = 2.
|
b) 15 e 9
15 |9_ 9 |
6
- 9 1
- 6 1
6 3
6 |3_
-
6 2
0
m.d.c. (15, 9) = 3
|
c) 16 e 6
16 |6_ 6 | 4
- 12 2 - 4 1
04 2
4 | 2
- 4 2
0 m.d.c. (16, 8) = 2 |
d) 21 e 14
21
|14_ 14 |
7
- 14 1 - 14 2
07 00
m.d.c. (21,
14) = 7
|
02 –
16 = 1 x
16 14 = 1 x 14
16 = 2 x
8 14 = 2 x 7
16 = 4 x 4
D (16) = {1, 2, 4, 8, 16} D (14) = {1, 2, 7,
14}
Divisores comuns entre 16 e 14: 1,
2.
m.d.c. (16,
14) = 2
|
03 –
a)
m.d.c. (25, 10)
25 |5 10 |2
5 |5 5 |5
1 | 1 |
m.d.c. (25, 10) = 5
|
b)
m.d.c. (16, 14)
16 |2 14 |2
8|2 7 |7
4 |2 1 |
2 |2
1 |
m.d.c. (16, 14) = 2
|
c)
m.d.c. (32, 8)
32 |2 8 |2
16
|2 4 |2
8 |2 2 |2
2 |2 1 |
4 |2
2 |2
1 |
m.d.c. (32, 8) = 8
|
d)
m.d.c. (12, 15)
12 |2 15 |3
6 |2 5 |5
3 |3
1 |
1 |
m.d.c. (12, 15) = 3
|
04 -
a) m.d.c. (35, 40) = 5.
b) m.d.c. (20, 30, 25) = 5.
c) m.d.c. (12, 60) = 12.
d) m.d.c. (40, 30) = 10.
e) m.d.c. (25, 60) = 5.
f) m.d.c. (12, 30, 60) = 6.
05 - Inicialmente devemos
verificar qual o m.d.c. de 24 e 16.
24, 16| 2
12, 8| 2
6, 4| 2
3, 2| 2
3, 1| 3
1, 1|
12, 8| 2
6, 4| 2
3, 2| 2
3, 1| 3
1, 1|
m.d.c. (24,16) = 2 x 2 x 2 = 8
Resposta: Cada
grupo terá 8 componentes.
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